pimathakademipimathakademi
📐 İspat Görselleri

İspatla Gör, Anla

Etkileşimli matematiksel ispatlar. Sürgüleri hareket ettirerek formüllerin mantığını keşfet.

Üçgenin İç Açıları Toplamı Neden 180°?

α + β + γ = 180° · İspat yöntemi: İç ters açıların paralel doğruya taşınması

α açısını değiştir45°
ISPAT • Üçgenin İç Açıları
α = 89°β = 57°γ = 33°αβγ= 180°
α = 89°β = 57°γ = 33°αβγ= 180°

α + β + γ = 89° + 57° + 33° = 179° = 180°

Paralel doğrular ve iç ters açılar yöntemiyle kanıtlanır. Tepeden tabana çizilen paralel bir doğruya, α ve β açıları iç ters açı olarak taşınır. Üç açı (α, β, γ) bu doğru üzerinde birleşir ve düz bir açı olan 180°'yi oluşturur. Bu, Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biridir.

Yarım Açı Formülü İspatı: cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2

Trigonometri yarım açı formülleri · cos 2θ = 2 cos²θ − 1 ilişkisinden türetme

θ açısını değiştir42°
ISPAT • Yarım Açı Formülleri
cos θ = 0.7431cos 2θ = 0.1045θcos²θ = (1 + cos 2θ) / 2Adım adım ispat:1. cos 2θ = cos²θ − sin²θ2. sin²θ = 1 − cos²θ → cos²θ − (1 − cos²θ) = 2 cos²θ − 13. 2 cos²θ − 1 = cos 2θ4. 2 cos²θ = 1 + cos 2θSonuç: cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2 ✓sin²θ = (1 − cos 2θ) / 21. cos 2θ = cos²θ − sin²θ2. cos²θ = 1 − sin²θ → 1 − sin²θ − sin²θ = 1 − 2 sin²θ3. 1 − 2 sin²θ = cos 2θ → 2 sin²θ = 1 − cos 2θSonuç: sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2 ✓
cos θ = 0.7431cos 2θ = 0.1045θcos²θ = (1 + cos 2θ) / 2Adım adım ispat:1. cos 2θ = cos²θ − sin²θ2. sin²θ = 1 − cos²θ → cos²θ − (1 − cos²θ) = 2 cos²θ − 13. 2 cos²θ − 1 = cos 2θ4. 2 cos²θ = 1 + cos 2θSonuç: cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2 ✓sin²θ = (1 − cos 2θ) / 21. cos 2θ = cos²θ − sin²θ2. cos²θ = 1 − sin²θ → 1 − sin²θ − sin²θ = 1 − 2 sin²θ3. 1 − 2 sin²θ = cos 2θ → 2 sin²θ = 1 − cos 2θSonuç: sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2 ✓

cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2  ·  sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2

Çift açı formülünden (cos 2θ = cos²θ − sin²θ) hareketle, sin²θ = 1 − cos²θ dönüşümü uygulanarak cos 2θ = 2 cos²θ − 1 elde edilir. Düzenleyince cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2 bulunur. Aynı yöntemle sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2 de türetilir. Birim çemberde θ ve 2θ ışınlarının x ekseni üzerindeki izdüşümleri (cos θ, cos 2θ) bu denklemlerin canlı kanıtıdır.